Övertoner

Det är en accepterad del av musikvetenskapen att när man spelar toner på musikinstrument hör man inte bara de tonerna. Varje ton utgörs i själva verket av en massa deltoner. Dessa kallas också för övertoner.

Vibrationer

När en musiker sätter en svängande kropp i rörelse skapas en ton. Det finns tre huvudtyper av svängande kroppar: strängen, luftpelaren och blocket. Exempel på musikinstrument som konstruerats efter dessa principer är gitarren, trumpeten respektive xylofonen.

När någonting vibrerar sker detta vid en särskild frekvens. Frekvensen bestäms av hur många vibrationscykler som sker per sekund, vilket mäts i vad vetenskapsmän tillika musiker kallar hertz (Hz). En frekvens på 1 Hz innebär att någonting fullbordar en svängningscykel per sekund. Om det sker varannan sekund är frekvensen 0,5 Hz. Det mänskliga örat uppfattar normalt frekvenser från 20 Hz till 20 kHz, eller tonhöjder som svänger mellan 20 och 20 000 gånger per sekund.

Indelningar

Fysikens lagar ger också att en svängande kropp inte bara vibrerar över hela sin längd. Den vibrerar också i delar: hälfter, tredjedelar, fjärdedelar och så vidare.

Eftersom mindre svängande kroppar vibrerar med högre frekvenser ger dessa delsvängningar upphov till högre tonhöjder. Sammantaget skapar alla dessa toner någonting som vi upplever som grundtonen.

Obs: man kan alltid referera till grundtonen och dess övertoner. Men som vi nu skall gå igenom är det mer logiskt att i stället se samtliga toner som en del i en större enhet. Grundtonen är alltså den första deltonen.

Övertonsserien

Nu kommer jag att skriva ut de första 16 deltonerna i vanlig notskrift. Den första indelningen (vibration i två hälfter) är exakt en oktav över grundtonen. Nästa indelning (tre tredjedelar) är en oktav och en ren kvint över grundtonen. Den första övertonen har en exakt dubbelt så hög frekvens som grundtonen, den andra övertonen en tre gånger högre frekvens. Med andra ord står indelningen och frekvensen i omvänd proportion till varandra.

Tonerna som kommer av dessa delsvängningar kan arrangeras i följande sekvens, som kallas övertonsserien. Det följande notexemplet anger övertonsserien för stora C (lägsta strängen på en cello, en stor ters under låga E på en gitarr):

Så om man spelar stora C hör man faktiskt alla de andra tonerna samtidigt. Och dessa är bara de första 16 deltonerna; serien fortsätter bort mot oändligheten, men med lägre ljudstyrka, och över 20 Khz räcker den mänskliga hörseln inte längre till.

Det bör noteras att vissa av de ovan illustrerade tonerna är grova motsvarigheter. Den sjunde deltonen (b) är märkbart lägre än den angivna tonen, och den elfte deltonen (fiss) är betydligt högre. Musik går inte alltid ihop!

Frekvensförhållanden

Om man sätter siffror under varje ton i det ovanstående exemplet är det enkelt att räkna ut frekvensförhållandet mellan olika intervall. Om grundtonen är 1 är andra deltonen 2, och då har de precis som jag nämnde här ovan frekvensförhållandet 1:2. Frekvensförhållandet mellan första och tredje deltonerna är 1:3, vilket ger en oktav och en ren kvint, medan det mellan andra och tredje deltonen (en ren kvint) är 2:3. Samtliga intervall går alltså att ge ett sådant här matematiskt förhållande.

Om man letar upp alla c i övertonsserien märker man att dessa återfinns på platserna 1, 2, 4, 8 och 16. Om man omvandlar detta till frekvensförhållanden blir det 1:2, 2:4, 4:8 respektive 8:16. Samtliga dessa bråk kan förenklas till 1:2, eller en oktav. Det är precis samma sak med alla g, som finns på platserna 3, 6 och 12 – 3:6 och 6:12 förenklas också till 1:2.

På samma sätt finns det rena kvinter mellan deltonerna 2 och 3, 4 och 6, 6 och 9 samt 8 och 12. Dessa är alla likvärdiga med förhållandet 2:3.

Om man vill ta reda på vad en stor sext har för frekvensförhållande är det bara att leta upp intervallet i övertonsserien. Jag hittar två förekomster: g (delton 3)/e (delton 5) och g (delton 6) och e (delton 10). 6:10 går att förenkla till 3:5.

De enklaste förhållandena ger också de mest konsonanta intervallen: prim (1:1), oktav (1:2), kvint (2:3) och kvart (3:4). Det är därför dessa fyra intervall kallas för rena intervall. De mer komplicerade frekvensförhållandena ger terser, sexter, sekunder och septimor, som är de intervall som förekommer i två grundformer: stora och små. Detta går jag in på i större detalj i artikeln om intervall.

Differenstoner

En differenston är ett fenomen som uppstår när man upplever en tredje ton fastän det bara är två toner som klingar. Differenstonens frekvens får man genom att subtrahera den lägre tonens frekvens från den högre.

Slag

Differenstoner ligger bakom den oscillation (eller "slag") som man hör när en gitarr inte riktigt är stämd, eller när två eller fler människor inte sjunger helt unisont. Frekvensen på differenstonen är helt enkelt tillräckligt låg att man hör de enskilda svängningarna. Till och med en till synes försumbar frekvensskillnad – t.ex. mellan 400 Hz och 401 Hz (0,25%!) – kommer att ge 1 slag per sekund (401 Hz − 400 Hz = 1 Hz).

Dubbleringseffekten

Differenstoner är också det grundläggande skälet till att vissa intervall är kraftfullare än andra. Skillanden i frekvens mellan toner i konsonanta intervall skapar en förstärkande dubblering av grundtonen (eller oktaven under den), vilket jag nu tänker bevisa genom några enkla räkneoperationer:

Oktaven har ett frekvensförhållande på 1:2. Om den lägre tonen är vid 100 Hz kommer den högre tonen att vara 200 Hz. Differenstonen blir 200 Hz − 100 Hz = 100 Hz, vilket är en upplevd dubblering av den lägre tonen.

En ren kvint har vid frekvensförhållandet 2:3 också en differenston som är konsonant. Om den lägre tonen är vid 200 Hz kommer den rena kvinten att ha frekvensen 300 Hz. 300 Hz − 200 Hz = 100 Hz. Differenstonen är exakt en oktav under den lägre tonen.

Enkelt är bäst

Som jag redan varit inne på i artikeln om intervallteori är primen (unison, 1:1), oktaven (1:2), kvinten (2:3) och kvarten (3:4) de fyra enklaste intervallen. Dessa kallas rena intervall eftersom de har de enklaste frekvensförhållandena, samt att att dessa intervall förblir rena i omläggning.

Ett av dem är dock inte lika de andra. Vilket och varför?

Det visar sig att kvarten har väldigt intressanta egenskaper när det gäller differenstonen. Eftersom frekvensförhållandet är 3:4 kommer en ton vid 300 Hz och en vid 400 Hz att befinna sig en ren kvart från varandra. Dra 300 från 400 så får du en differenston vid 100 Hz. Detta är två oktaver under 400 Hz (1:2, 2:4 eller 1:2 x 2). Differenstonen kommer alltså vara två oktaver under den högre tonen!

Detta är en bekräftelse på två saker: 1) att kvarten är en omvänd kvint, och 2) många teoretiker betraktar kvarten som ett dissonant intervall. Detta beror i mångt och mycket på att våra öron har präglats till att lyssna efter tersharmonik och förvänta sig ackord som består av grundton, ters och kvint. I det sammanhanget är kvarten slutresultatet av en förhållning, eller någon form av tilläggston som i vilket fall som helst inte är ackordegen.

När vi närmar oss de mindre intervallen blir differenstonen lägre tills den – som beskrivs ovan – blir mer en oscillering än en förnimbar klang.

Att hitta övertoner

När jag först hörde talas om övertoner tänkte jag att det var en egendomlig teori. Det måste ju vara omöjligt att bevisa! Hur kan alla dessa toner (se musikexemplet ovan) klinga samtidigt utan att det blir kaos?

Det visar sig att det finns flera sätt att "bevisa" att övertoner faktiskt existerar:

Sinustoner

Utan övertoner skulle alla toner låta som de där ljuden som öronläkaren spelar i hörlurarna när han testar din hörsel. De tonerna är rena frekvenser utan några som helst övertoner. De kallas sinustoner eftersom svängningarna beskriver en sinusvåg.

Jämna/ojämna övertoner

Det är övertoner som utgör skillnaden mellan vad vi uppfattar som klingande musikaliska toner och vad vi uppfattar som oväsen. Alla ljud är vibrationer! Skillnaden är hur övertonernas amplitud (vetenskapsspråk för volym) fördelas. Om du knackar med nageln på ett vinglas kommer det en spröd ton med en förnimbar tonhöjd. Ta sedan samma glas och kasta det på köksgolvet för ett betydligt mer perkussivt ljud. Allt detta handlar om övertoner.

Hitta övertoner

På en gitarr kan övertonerna isoleras tämligen enkelt. Det enda man behöver göra är att hindra strängen från att svänga genom hela sin längd. Man åstadkommer detta genom att nudda lätt vid strängen innan den anslås. Helst gör man då detta vid någon av strängens harmoniska noder.

Det är lätt att hitta dessa noder eftersom akustikens lagar är med oss. Eftersom olika tonhöjder på en gitarr alstras genom att man förkortar strängarna går det att använda bandstavarna för att leta upp övertonerna.

Det tolfte bandet är exakt en oktav över den öppna strängens tonhöjd. Fysikens lagar säger därför att den måste vara placerad precis halvvägs mellan stall och sadel. Vidrör strängen lätt precis över tolfte bandets bandstav och slå an tonen. Den andra deltonen klingar.

Den tredje deltonen – en oktav och en ren kvint över den öppna strängen – återfinns vid det 19:e bandet. Men eftersom den tredje deltonen uppstår genom en tredelning av strängen finns det en andra nod för den här övertonen. Denna nod finns exakt halvvägs mellan 19:e bandet och sadeln: sjunde bandet. (För en gångs skull hänger allt ihop: tonen vid 19:e bandet är exakt en oktav högre än den vid 7:e bandet eftersom 19:e bandet är exakt halvvägs mellan 7:e bandet och stallet!)

Så här håller det på tills noderna ligger så tätt sammanpackade att de inte längre går att isolera.

Resonans

Att dämpa strängar är viktigt när man spelar elgitarr, framför allt när man använder mycket dist. Ett av skälen är att oönskade strängljud lätt förstärks av volymen och kompressionen. En annan anledning är sympatisk resonans. Kanske har du hört det i replokalen: när man tar vissa toner på gitarren eller basen surrar sejarmattan på virveltrumman. Det fungerar på precis samma sätt på en gitarr. Om man slår an den höga E-strängen och sedan dämpar tonen tvärt kommer den låga E-strängen och sannolikt även A-strängen att börja vibrera vid den frekvens som de har gemensamt med höga E. Om man sätter detta i system kan man på en akustisk gitarr använda detta fenomen för att simulera rymdklang (reverb).